2.5. Гиперболические уравнения
Основным уравнением гиперболического типа является волновое
уравнение.
2.5.1. Уравнение поперечных колебаний струны
Рассмотрим туго натянутую струну, закрепленную на концах.
Выведем струну из положения равновесия (оттянув ее или ударив по ней),
тогда струна начнет колебаться.
Рис. 2.1
Предположим, что любая точка струны колеблется по прямой,
перпендикулярной к исходному положению струны, и струна все время
находится в одной и той же плоскости. Выберем в этой плоскости
декартову прямоугольную систему координат Oxu. В качестве оси Ox
возьмем прямую, на которой находилась струна в положении равновесия,
за ось Ou примем прямую, проходящую через левый конец струны и
перпендикулярно к оси Ox (рис. 2.1).
Отклонение струны от положения равновесия обозначим через u;
очевидно, u зависит от абсциссы
x
точки струны и времени
,t
т. е.
,.u u x t
Пусть в положении равновесия струна совпадала с промежутком
0, l
оси Ox. Будем рассматривать только поперечные колебания струны,
предполагая, что движение происходит в одной плоскости и все точки
струны движутся перпендикулярно оси Ox.
При фиксированном
t
графиком функции
,u u x t
в плоскости Oxu
является форма струны в данный момент времени
.t
Угловой коэффициент
касательной к графику в точке с абсциссой
x
равен частной производной
U
L
O
M
1
M
2
по
x
от функции
,,u x t
т. е.
tg
u
x
, где
,xt
– угол наклона
касательной.
Чтобы составить представление о колебаниях струны, необходимо
начертить ряд графиков функции
,u u x t
при разных значениях
.t
При фиксированном значении
x
функция
,u u x t
определяет закон
движения точки с абсциссой
.x
Эта точка движется по прямой,
параллельной оси Ou. Скорость и ускорение указанного движения
выражаются соответственно формулами
2
2
,
uu
vw
t
t
.
Будем изучать малые колебания струны, т. е. такие, при которых угол
,xt
(угол наклона касательной к графику функции
,u u x t
при
каждом фиксированном значении
)t
настолько мал, что его квадратом
можно пренебречь, т. е. считать
2
0.
Поскольку
3 5 2 4
sin ..., cos 1 ...
3! 5! 2! 4!
,
то отсюда следует, что
sin , cos 1.
Далее, так как
tg sin tg 1 cos tg 0 0,
то
tg sin .
Заключаем, что
2
tg 0,
или
2
0.
u
x
Рис. 2.2
Следовательно, длина дуги струны, ограниченной точками
1 1 1
,,M x y
2 2 2
,,M x y
выразиться формулой
22
11
2
1 2 2 1
1.
xx
xx
u
M M dx dx x x
x
Соотношение
1 2 2 1
M M x x
означает, что длина любого участка
струны (приближенно) остается постоянной.
Будем предполагать струну абсолютно гибкой (упругой), что означает
следующее: если удалить участки
12
,OM M L
(см. рис. 2.1 на с.28), то их
действия на участок
12
MM
заменяются соответственно действием сил
натяжения
1
T
и
2
,T
направленных по касательным к графику функции
,u u x t
в точках
1
M
и
2
M
(рис. 2.2). Поскольку по предположению
точки струны движутся по прямым, параллельным оси Ou, то сумма
проекции сил
1
,T
2
T
на ось Ox равна нулю. Проектируя эти силы на ось Ox,
получаем
2 2 1 1
cos cos 0,TT
где
12
,TT
– величины сил
1
T
и
2
.T
На основании того, что
cos 1,
заключаем, что
12
TT
, т. е. величина
силы напряжения останется постоянной. Обозначим ее через
,T
получаем
12
.T T T
Проектируем силы
1
T
и
2
T
на ось Ou, находим
2 2 1 1 2 1 2 1
sin sin sin sin tg tg .T T T T
С учетом равенства
tg
x
u
u
x
получаем
u
x
x
x +
x
0
T
1
T
2
M
2
M
1
1
2
Рис.2
21
tg tg , , ,
xx
T T u x x t u x t
где
x
– абсцисса точки
1
;M
xx
– абсцисса точки
2
.M
Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях
дифференцируемой функции, находим, что
2
2
, , .
xx
u
u x x t u x t x
x
Поэтому проекция сил натяжения
1
T
и
2
T
на ось Ou выражается
формулой
2
21
2
tg tg .
u
T T x
x
Предположим, что на струну действуют также внешние силы,
параллельные оси Ou, плотность распределения которых
,,g x t
тогда
величина равнодействующей этих сил, приложенных к участку
12
,MM
приближенно равна
,.g x t x
Силами сопротивления внешней среды
пренебрегаем.
Будем считать струну однородной, обозначим через
ее линейную
плотность, тогда масса участка
12
MM
выразиться так:
12
,M M x
.mx
В соответствии со вторым законом Ньютона
mw F
получаем:
22
22
,.
uu
x T x g x t x
tx
Разделим на
x
22
22
,
uu
T g x t
tx
или
22
2
22
,,
,,
u x t u x t
a f x t
tx
(2.28)
где
2
T
a
,
,
,
g x t
f x t
.
Если внешняя сила отсутствует, то мы имеем
,0g x t
и получим
уравнение свободных колебаний струны
22
2
22
,,u x t u x t
a
tx
.
Уравнение (2.28) имеет бесчисленное множество частных решений.
Для полного определения движения струны нужны некоторые
дополнительные условия, вытекающие из физического смысла задачи. Для
уравнения колебаний струны (2.28) естественно задавать положение и
скорость всех точек струны в начальный момент времени
0t
:
0
,
t
ux
0
.
t
u
x
t
(2.29)
Условия (2.29) называются начальными условиями (
x
– начальное
смещение,
x
– начальная скорость).
Поскольку струна ограничена, то нужно указать, что происходит на ее
концах. Для закрепленной струны на концах мы должны иметь
0
0, 0
x
xl
uu
(2.30)
при всяком
0.t
Условия (2.30) называются краевыми или граничными
условиями. Возможны и другие граничные условия.
Итак, приходим к следующей математической формализации –
математической модели исследуемой физической задачи колебаний
закрепленной струны.
5А1 (Задача о колебаниях ограниченной струны). Найти такое
решение уравнения (2.28), которое удовлетворяло бы начальным (2.29) и
граничным (2.30) условиям. Уравнение (2.28) называется одномерным
волновым уравнением.
5Б2 (Замечание). Можно рассматривать колебания полубесконечной
или бесконечной струны, когда один или оба конца находятся бесконечно
далеко. Оба этих случая являются идеализацией случая очень длинной
струны, причем первый из них соответствует рассмотрению точек,
сравнительно близких от одного из концов струны, а второй –
рассмотрению точек, расположенных далеко от обоих концов. В первом из
этих случаев в качестве граничного условия остается требование
0
0,
x
u
,
а во втором случае граничные условия вообще отсутствуют. Начальные
функции φ(x) и ψ(x) в этих случаях должны быть заданы соответственно
для всех x, 0 ≤ x < ∞, в первом случае, для всех x, -∞ < x < ∞, во втором
случае.
5Б3 (Замечание). Смешанные задачи описывают колебания
ограниченных или полуограниченных струн. Для этого помимо условий
(2.29) в конечных граничных точках добавляется одно из трех
дополнительных условий:
0
,
xx
ut
0
tt
– граничное условие I рода;
0
,
xx
u
t
x
0
tt
– граничное условие II рода;
0
,
xx
u
k x u t
x
0
tt
– граничное условие III рода.
Смешанные задачи и задачи Коши являются корректными: их решение
существует, оно единственно и устойчиво.
